数学的发展历程及对经济学的意义
一、数学的逻辑学基础
对于社会科学的研究，主要从物的秩序、主体间性和价值三方面进行分析。对于数学的意义我们必须从逻辑学开始入手，即叔本华和康德所论的一切理性思维的“四条先验逻辑律”，即（1）“ ”，即仅在空间上讨论问题，认为我们所讨论的即为我们所知的。（2）“ ”，即认为分类是有效的。分类的边界是清晰的。（3） ，即全集具有收敛性，且是可分的。（4） ，且不存在对于 ， 和 同时存在的情况，即符合因果律。
从数学工具的应用来看，我们需要从认知（cognition）科学入手，即每一个人从真实世界（real world）中，通过康德认知的七个阶段（1）to present something to oneself，（2）to present something to oneself with conscious （i.e. to perceive），（3）to present something to oneself in conscious comparison with other things both as to identity and disparity（i.e. to be “cognizant”），（4）to be cognizant with consciousness（i.e. to cognize）， （5） to understand （intelligence） （i.e. to cognize or conceive through the understanding by means of concepts），（6）to cognize something through reason, or to have insight into it，（7）to comprehend something（i.e. to cognize it through reason or a priority in that degree which is sufficient for our purpose），从而形成了各自的体系。各自的体系通过交流，形成了共同知识（common knowledge），并通过自由扩展的秩序形成了一系列的研究体系。
这些研究体系在本身不存在逻辑上的矛盾，但是体系之间通过对现象的模拟，达到解释现象的目的，存在着一系列的矛盾。同时基于这些研究体系去研究世界，往往需要通过假设、分类、选择精度、选择研究体系，作出结论等各个步骤。假设（公理）的目的即（1）根据研究精度，去除被研究个体的特殊性，（2）根据分类，去除分类边界的模糊性。而研究体系在在研究方法上主要分为时间序列上的研究体系和结构上的研究体系。从物的秩序而言，我们已经做到了时间序列和结构上的统一（爱因斯坦的广义相对论），而如果从物的秩序、主体间性和价值三个维度同时考虑，现有的研究方法没有办法同时分析时间序列和结构上的问题。
二、现有数学方法在经济学上的运用及局限
（一）时间序列上的研究体系
在时间序列上，我们主要有动态最优控制（dynamic optimal control），动态规划（dynamic programming）、随机过程（stochastic process）、混沌（chaos）、复杂（complexity）。
1、动态规划
对于连续的动态规划理论，主要是为了体现动态政策的不一致性（dynamic-inconsistency），即期限内某一时间点上期望收益与总收益的差异，及其对内生变量和外生变量的影响。对于离散的动态规划理论，相比较而言更有利于研究时间序列上均衡点的存在性和稳定性。而对于两方或者多方的动态规划理论，鞍点均衡的存在条件为有一方在时间序列上存在着绝对的控制，即：
S.T.
均衡点存在的条件为： （证明略）
如果该条件被打破且我们所研究的现象被假设为连续的，那就可能会出现混沌现象。
2、随机过程
对于随机过程的问题，现在经济学研究的主要是马尔可夫链（Markov chain）和白噪音（white noise）。但是马尔可夫链的运用仅是针对离散变量进行研究，因此目标和跟随者之间存在着的时间间隔以及目标和滞后跟随者之间的相互影响是没有办法进行分析的。如对于微软公司在操作系统开发领先的优势，其他公司针对微软操作系统更新换代，开发出用于该操作系统的附件，对于这种现象就可以用该理论进行分析。但是以前这些公司的行为是否受微软公司本次更新的影响和微软公司本次更新到与其他公司开发出附件之间的最优时间就没有办法用这套理论进行分析。同时对于白噪音 ，即形如 的动力学方程，在经济学中是很强的假设，这种假设在计量研究中已一定程度上被有色混沌（color chaos）取代。
3、混沌和复杂
对于形如 ，且 的动力学方程，当 ，就会出现混沌现象，即使初始条件 发生很小的变化，后面的差异度将出现指数倍的增长（蝴蝶效应）。当构成混沌现象的前提条件会随着时间序列的展开而发生变化，就出现了复杂现象。这一套理论在今后计量经济学方面有很大的用处。
在时间序列上的分析上，最重要的是能否解决不确定性的问题，如果我们从未来的时刻点推到现在时刻点，那就会形成复杂形式的演化，即我们可以得到可供选择的有效路径，该问题在研究上的最大问题在于从现在的时刻点到未来时刻点的期限和贴现率如何同时内生的问题。同时，由于在社会学中，时间只能当标量而不能当矢量进行研究，因此处理信息问题，用物理学中的负熵流就不是十分适合。
虽然整个研究时间序列的数学体系，已基本上可以被数学软件模拟，但其仍存在着许多还没有被解决的问题，如对于经济学来说一个重点是如何把贴现率和期限同时内生的内生增长模型，同时如何模拟扩展的秩序（哈耶克）和对不确定性的分析（博弈论），也将是一个研究重点。
（二）结构上的研究体系
对于结构论的问题，我认为包含了不动点定理的运用，纳什笔记中关于从均衡到均衡的一般均衡理论的拓展结构、耗散结构中关于结构稳定性的理论、超边际分析法中关于拓朴结构展开的理论，还有可能被用于经济学研究的图论、群论、生物群落组织结构和演化、神经网络学、负熵流的研究等。
1、不动点定理的运用
Brouwer-Kakutani-Fan不动点定理
是非空、凸、紧且 可分离的集合，对于集映 ，上半连续，非空、凸，则 ，使 。
Weiersrass-Hahn-Banach不动点定理
在Banach空间（完备度量空间）里压缩映射有不动点，该理论在原有的基础上突破了凸性假设。
Knaster-Tarski-Zhou不动点定理
为一完备格（格论：半序）， ，对于映射 ，若 非空，是 的次完备子格。若 在 上非减，则 在 上的不动点，且不动点的集构成 的完备子格。该理论突破了凸性和连续性假设。
2、纳什笔记中关于从均衡到均衡的一般均衡理论的拓展结构
该理论构建了经济学一般均衡论的体系。
3、耗散结构中关于结构稳定性的理论
任何开放系统稳定的条件和稳定的生命力有所不同。所谓稳定，从稳定性情况考虑有稳态、亚稳态和不稳态之分（演进的系统一般处于亚稳态结构），而使这种情况存在的条件即为该系统稳定的条件。同时，稳定的生命力是指该系统在演化的过程中，使其能够抵御较大的内部冲击，并能使其稳定的条件相对弱化的情况。而社会的演化体现为过程中的稳定性，只是稳定的条件和生命力有所不同，生命力强的系统稳定的条件较弱。
我们研究一个开放系统，研究精度有所不同。如果我们偏重研究母系统，就必须在一定程度上排除子系统的特殊性，如果我们偏重研究子系统，那么对母系统的研究就不是十分重要。对于简单系统来说，其个体的同质性不会影响系统的稳定性，对于复杂系统来说，其个体应为异质的，这样能提高稳定性。这套理论（数学上用到了傅里叶展开的分析工具）在物理学上有很好的应用，但是在社会科学中的应用有一定的问题，因为其牵涉到了主体间性和价值。即在物理学上我们研究热力学和分子运动可以广泛运用这套理论，但对于社会学中人的研究牵涉到个体的能动性，因此，形式上可以模拟，但是本质上是无法解释的。
4、超边际分析法中关于拓朴结构展开的理论
杨小凯教授将这套理论用于分析分工的演化问题，但由于运用这套方法，其复杂程度随着研究结点的增加，成指数倍增加。因此其应用成了一个大问题。
总之，运用数学这一形式逻辑体系研究现象，由于研究样本的滞后性、局限性以及测不准原理，使得在对未来的预测问题上，通过研究体系得出的结论与通过直觉得出的结论相比不存在优势。
三、关于经济学两个方法论的问题
经济学，如周其仁教授正确地指出过的，有两种似乎出自同一学派但实质不同的方法：（1）弗里德曼（M. Friedman）著名的“只要预测准确，经济学假设的真实性无关紧要”的实证经济学的方法论。（2）科斯（R. Coase）的被汪丁丁教授称为“直面现象的经济学”的方法论，即悬置一切既有理论，以真实现象为出发点重新构建能够解释现象的理论，哪怕这重新构建的理论与既有的理论相重合从而显得“多此一举”。按照周其仁教授的说法，凭着自己的口味和判断力，对真实世界进行观察，寻找传统理论无法解释或者不能很好解释的问题（issue）。经济学的目的仅仅是“解释世界”而不是“改造世界”，即研究是什么和为什么，而对于好不好和怎么做的问题，不是研究的重点。
对于弗里德曼的方法论，似乎是理论经济学家或者数理经济学家经常用到的，即在抽象真实世界的基础上或在自己理念构筑的世界中，通过假设、分类、选择精度、选择研究体系，作出结论等过程，推测真实世界的未来。然而由于不确定性等因素的存在，这种方法的预测能力几乎与通过直觉预测不分伯仲。
而对于科斯的方法论，“直面现象”不是件容易的事情。在汪丁丁教授的观察中，目前只有屈指可数的几个人，能够靠嗅觉（而不是任何理论）找到现象的真实解释，然后转过身来告诉理论家们：“这就是理论应当前进的方向”。理论家们都明白，原则上，他们能够建构无穷多的理论来解释任何一种特定现象，正好像无穷多博弈均衡足以解释任何特定现象一样。离开现象的指导，理论毫无意义。同时，该种方法的真实性（realistic）和易于处理性（manageable）又是难以把握的。我曾经以这种方法论研究的真实世界是滞后的真实世界和局部的真实世界来向周教授提出质疑，他认为这种方法论适用于做案例，即需要不断地观察真实世界，并且不断地做案例，目的是为了对现有理论进行补充。而对于被研究的对象进行归纳总结是不可取的，因为该过程所做的假设，扼杀了被研究的对象的特殊性。
对于这两种方法论能否一起使用的问题，大多数学者认为应该运用两者的优点，以作为研究的必要条件，即经济学理论是用来说明社会经济现象的几个主要经济变量之间因果关系的逻辑体系。理论的创新来自对新现象的分析或对旧现象的新解释。既然经济学的理论是一套逻辑体系，那么新的经济学理论的构建就首先要严格遵守形式逻辑内部一致的要求，否则，变量之间的因果关系就无法说清楚。同时，理论是一个信息节约的工具，理论模型并不是越复杂越好，而要尽可能地简化，限制条件要尽可能地少。要用很少的给定条件，来解释观察到的现象，一般学者容易采用带有很强的“模型特定性”（model specific）和“问题特定性”（problem specific）的条件。但如果条件是模型特定的或问题特定的，这种理论能运用的范围就很局限。由于理论是信息节约的工具，理论要有尽可能强的“普适性”（robustness），也就是要有更大的解释范围，要达到这个目标，理论模型中的限制条件就要有一般性。（林毅夫，2001）。然而，我认为由于弗里德曼的方法论通过假设、分类、选择精度、选择研究体系，作出结论等过程和选择研究体系本身的局限性。如果我们研究真实世界的问题，提出理论能否真正做到“普适性”仍是一个大问题，而用很少的约束条件的简化模型，很好地解释世界，似乎可能性不大，因为这只能体现一种研究精度。由于通过假设会出现（1）根据研究精度，去除被研究个体的特殊性，（2）根据分类，去除分类边界的模糊性。（3）选择研究精度和研究体系（主要体现为用哪一套数学体系去模拟，突出所谓“关键”的问题），由于其本身的局限性，造成我们不得不做一些“模型特定性”和“问题特定性”的假设，这一问题没有办法避免。因此，我认为我们能做的只能是掌握各种研究体系在分析上的有利面和局限面，同时要澄清一点基于各种研究体系在分析上的有利面和局限面，因此选择简单系统和复杂系统进行模拟，主要是看其解释力度罢了。
四、对于广义效用理论的质疑
对于这个问题，我认为应该从两种人工智能计算机开始讲，第一种人工智能计算机基于事先设定的游戏规则（如我们讲的存在n种可分离的闭合的效用取向），按照固定的目标[如在一个特定时间段内的总效用最大化或认为最终的结果是取得胜利（下棋）]，所设计的最优策略或行为组合。第二种人工智能计算机是认知论的原理，包括形象思维中的形象信息模型的研究（潘云鹤，1991），即使计算机能够模拟人的认知过程，接受外部事物的刺激产生感觉，刺激后产生知觉，在知觉印象中通过记忆获得心象，同时基于已积累的心象，去判断新的事物。经济学研究的广义效用理论与第一种人工智能计算机的模拟方法相似。而人的认知过程却与第二种人工智能计算机的模拟方法相似，即基于人脑的计算能力，其不可能在一个时间截面上，对各方面效用的各种选择可能获得的结果进行一一预测和比较，然后再选择对策。同时这种方法必须是基于效用可叠加的假设，因为不可能在不同维度上进行最优规划。由于上述一系列的问题，我们如果想用广义效用理论推翻经济学的理性人假设，会遇到很大的困难。因为要推翻原有的理论必须在原有的基础之上构建一个新的并且比原有理论更有说服力的理论体系。
叶航教授的回答：事实上，广义效用理论就是要在第二种人工智能形态上重构经济学的效用理论。（也许话语应该倒过来说：第一种人工智能，其实是第一代人工智能，只在形式上模拟了人的智能；而第二种人工智能，其实是第二代人工智能力图从实质上模拟人的智能；因此，广义效用理论的实质就是在人类认知的心理和生理基础上重构经济学。）在我的理论中，效用完全是基于个人认知过程的客观生化现象（抑或还是一种神经动力学现象）和主观心理感受，其同质性决定了它们的可叠加性。因此，这一理论看似没有脱离传统经济学的范式，但其实是一种库恩意义上的范式革命。
